4.2 Modelo bayesiano hierárquico

Generalizando o cenário descrito anteriormente, suponha que um mesmo consumidor faça escolhas sucessivas ao longo do tempo, de modo que os atributos \(x_{ij}\) introduzidos na seção anterior sejam extendidos para \(x_{itj}\in\mathbb{R}^p\), em que o índice \(t\) denota os diversos momentos em que as escolhas são feitas pelo consumidor \(i\). De maneira análoga, as escolhas correspondentes feitas pelo consumidor \(i\) ao longo do tempo passam a ser denotadas por \(y_{it}\in\mathbb{R}^k\).

Introduzimos uma matriz de parâmetros (coeficientes de regressão) \(\Delta\in\mathbb{R}^{q\times p}\) e vetores aleatórios \(w_i\in\mathbb{R}^p\), condicionalmente independentes e identicamente distribuídos, com distribuição normal multivariada, tendo vetor de médias nulo e matriz de covariâncias \(\Sigma\), para \(i=1,\dots,n\). Definimos vetores \(\beta_i\in\mathbb{R}^p\) por \[ \beta_i=\Delta^\top z_i + w_i, \] para \(i=1,\dots,n\). Guiados por McFadden (1974), mas sem utilizarmos seus resultados explicitamente, definimos

\[ \pi_{itj} = \frac{\exp(x_{itj}^\top\beta_i)}{\sum_{\ell=1}^k \exp(x_{it\ell}^\top\beta_i)}, \]

e postulamos que \(y_{it}\in\mathbb{R}^k\) tenha condicionalmente distribuição categórica com probabilidades \(\pi_{itj}\).

Para completarmos esse modelo bayesiano hierárquico, precisamos de distribuições a priori para \(\Delta\) e \(\Sigma\). Uma vez especificado o modelo, fazemos inferência utilizando um método de Monte Carlo de cadeia de Markov. Os detalhes das distribuições a priori e da técnica de simulação podem ser encontrados em Rossi, Allenby e McCulloch (2006).

Na próxima seção, esse modelo de escolha é aplicado a um problema com dados de consumidores interessados em cruzeiros marítimos.