Apêndice

Suponha que a utilidade seja escrita como \(U_{ij}=V_{ij}+\epsilon_{ij}\), em que os \(\epsilon_{ij}\) são independentes e têm distribuição de valor extremo do tipo \(\mathrm{I}\). Assim, a densidade de cada \(\epsilon_{ij}\) é dada por \[ f_{\epsilon_{ij}}(t)=\exp(-t)\exp(-\exp(-t)), \] para \(t\in\mathbb{R}\); e a função de distribuição correspondente é

\[ F_{\epsilon_{ij}}(t)=\Pr\{\epsilon_{ij}\leq t\}=\int_{-\infty}^t f_{\epsilon_{ij}}(u)\,du = \exp(-\exp(-t)). \] Queremos calcular \[\begin{align*} \pi_{ij} &= \Pr\{U_{ij}>U_{i\ell}, \text{para todo } \ell\neq j\} = \Pr\!\left( \cap_{\ell\neq j} \{\epsilon_{i\ell}<\epsilon_{ij}+V_{ij}-V_{i\ell}\} \right) \\ &= \int_{-\infty}^\infty \Pr\!\left( \cap_{\ell\neq j} \{\epsilon_{i\ell}<\epsilon_{ij}+V_{ij}-V_{i\ell}\} \mid \epsilon_{ij} = t \right) f_{\epsilon_{ij}}(t) \,dt \\ &= \int_{-\infty}^\infty \Pr\!\left( \cap_{\ell\neq j} \{\epsilon_{i\ell}<t+V_{ij}-V_{i\ell}\}\right) f_{\epsilon_{ij}}(t) \,dt \\ &= \int_{-\infty}^\infty \left(\prod_{\ell\neq j} \Pr\{\epsilon_{i\ell}<t+V_{ij}-V_{i\ell}\}\right) f_{\epsilon_{ij}}(t) \,dt, \end{align*}\] na qual utilizamos o teorema da probabilidade total e a independência dos \(\epsilon_{i\ell}\).

Observando que \[ \prod_{\ell\neq j} \Pr\{\epsilon_{i\ell}<t+V_{ij}-V_{i\ell}\} = \frac{\prod_{\ell=1}^k \Pr\{\epsilon_{i\ell}<t+V_{ij}-V_{i\ell}\}}{\Pr\{\epsilon_{ij}<t\}} \] e utilizando as expressões de \(f_{\epsilon_{ij}}(t)\) e \(F_{\epsilon_{ij}}(t)\), temos que \[ \pi_{ij} = \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\exp(-t)\exp(-V_{ij})\sum_{\ell=1}^k \exp(V_{i\ell}) \right) \exp(-t)\,dt. \]

Fazendo a mudança de variável \(u=\exp(-t)\), de modo que \(du=-\exp(-t)\,dt\), transformando e invertendo os novos limites de integração, temos que \[ \pi_{ij} = \int_0^\infty \exp\left(-\!\left(\exp(-V_{ij})\sum_{\ell=1}^k \exp(V_{i\ell}) \right)u\right) du = \frac{\exp(V_{ij})}{\sum_{\ell=1}^k \exp(V_{i\ell})}, \] como queríamos.